Производная sec(x/2)^(2)

Вы ввели

   2/x\
sec |-|
    \2/

$$\sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d u} \sec{\left (u \right )} = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

   2/x\    /x\
sec |-|*tan|-|
    \2/    \2/

$$\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

   2/x\ /         2/x\\
sec |-|*|1 + 3*tan |-||
    \2/ \          \2//
-----------------------
           2           

$$\frac{1}{2} \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

   2/x\ /         2/x\\    /x\
sec |-|*|2 + 3*tan |-||*tan|-|
    \2/ \          \2//    \2/

$$\left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$