Производная (sec(x)+tan(x))^10

Вы ввели

                 10
(sec(x) + tan(x))  

$$\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{10}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{10}$ получим $10 u^{9}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

            $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $10 \left(\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{9}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{10 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{10}}{\cos^{11}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{10 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{10}}{\cos^{11}{\left (x \right )}}$

Первая производная

                 9 /           2                      \
(sec(x) + tan(x)) *\10 + 10*tan (x) + 10*sec(x)*tan(x)/

$$\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{9} \left(10 \tan^{2}{\left (x \right )} + 10 \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 10\right)$$

Вторая производная

                      /                               2                                                                                     \
                    8 |  /       2                   \                      /   2             /       2   \            /       2   \       \|
10*(sec(x) + tan(x)) *\9*\1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/  + (sec(x) + tan(x))*\tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)//

$$10 \left(\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}\right) + 9 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{2}\right) \left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{8}$$

Третья производная

                      /                                3                      /               2                                                                           \                                                                                                                      \
                    7 |   /       2                   \                     2 |  /       2   \       3                  2    /       2   \     /       2   \              |                        /       2                   \ /   2             /       2   \            /       2   \       \|
10*(sec(x) + tan(x)) *\72*\1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/  + (sec(x) + tan(x)) *\2*\1 + tan (x)/  + tan (x)*sec(x) + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 5*\1 + tan (x)/*sec(x)*tan(x)/ + 27*(sec(x) + tan(x))*\1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/*\tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)//

$$10 \left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{7} \left(\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{2} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \tan^{3}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}\right) + 27 \left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right) + 72 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{3}\right)$$