Производная sec(x)*csc(x)

Вы ввели

sec(x)*csc(x)

$$\csc{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \csc{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

         $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

   В результате: $\frac{\sin{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - \frac{\cos{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{8}{\cos{\left (4 x \right )} - 1} + \frac{4}{\cos{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{8}{\cos{\left (4 x \right )} - 1} + \frac{4}{\cos{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

csc(x)*sec(x)*tan(x) - cot(x)*csc(x)*sec(x)

$$\tan{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/         2           2                     \              
\2 + 2*cot (x) + 2*tan (x) - 2*cot(x)*tan(x)/*csc(x)*sec(x)

$$\left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} - 2 \tan{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 2 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \csc{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Третья производная

/   3         3        /       2   \               2               /       2   \               2               /       2   \            /       2   \       \              
\tan (x) - cot (x) - 5*\1 + cot (x)/*cot(x) - 3*tan (x)*cot(x) - 3*\1 + tan (x)/*cot(x) + 3*cot (x)*tan(x) + 3*\1 + cot (x)/*tan(x) + 5*\1 + tan (x)/*tan(x)/*csc(x)*sec(x)

$$\left(5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - 5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \tan^{3}{\left (x \right )} - 3 \tan^{2}{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 3 \tan{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )} - \cot^{3}{\left (x \right )}\right) \csc{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$