Производная sec(x)*tan(x)

Вы ввели

sec(x)*tan(x)

$$\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$$

d                
--(sec(x)*tan(x))
dx               

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sec{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\sec{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sec{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{-1 + \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\cos{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{-1 + \frac{2}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\cos{\left(x \right)}}$

Первая производная

   2             /       2   \       
tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$$

Вторая производная

/         2   \              
\5 + 6*tan (x)/*sec(x)*tan(x)

$$\left(6 \tan^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$$

Третья производная

/   2    /         2   \     /       2   \ /         2   \     /       2   \ /         2   \        2    /       2   \\       
\tan (x)*\5 + 6*tan (x)/ + 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + 3*\1 + tan (x)/*\1 + 2*tan (x)/ + 6*tan (x)*\1 + tan (x)//*sec(x)

$$\left(3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \left(6 \tan^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \tan^{2}{\left(x \right)}\right) \sec{\left(x \right)}$$

График