Производная sin(pi/(2*x))

Вы ввели

   / pi\
sin|---|
   \2*x/

$$\sin{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{\pi}{2 x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{2 x}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{2 x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\pi}{2 x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\pi}{2 x^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{\pi}{2 x^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )}$

Первая производная

       / pi\ 
-pi*cos|---| 
       \2*x/ 
-------------
        2    
     2*x     

$$- \frac{\pi}{2 x^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )}$$

Вторая производная

   /        / pi\           \
   |  pi*sin|---|           |
   |        \2*x/      / pi\|
pi*|- ----------- + cos|---||
   \      4*x          \2*x//
-----------------------------
               3             
              x              

$$\frac{\pi}{x^{3}} \left(\cos{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )} - \frac{\pi}{4 x} \sin{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )}\right)$$

Третья производная

   /                 2    / pi\           / pi\\
   |               pi *cos|---|   3*pi*sin|---||
   |       / pi\          \2*x/           \2*x/|
pi*|- 3*cos|---| + ------------ + -------------|
   |       \2*x/          2            2*x     |
   \                   8*x                     /
------------------------------------------------
                        4                       
                       x                        

$$\frac{\pi}{x^{4}} \left(- 3 \cos{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )} + \frac{3 \pi}{2 x} \sin{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )} + \frac{\pi^{2}}{8 x^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{2 x} \right )}\right)$$