Производная sin(pi*x)/x

Вы ввели

sin(pi*x)
---------
    x    

$$\frac{1}{x} \sin{\left (\pi x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (\pi x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \pi x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\pi x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\pi$

      В результате последовательности правил:

      $\pi \cos{\left (\pi x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\pi x \cos{\left (\pi x \right )} - \sin{\left (\pi x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(\pi x \cos{\left (\pi x \right )} - \sin{\left (\pi x \right )}\right)$

Первая производная

  sin(pi*x)   pi*cos(pi*x)
- --------- + ------------
       2           x      
      x                   

$$\frac{\pi}{x} \cos{\left (\pi x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\pi x \right )}$$

Вторая производная

    2             2*sin(pi*x)   2*pi*cos(pi*x)
- pi *sin(pi*x) + ----------- - --------------
                        2             x       
                       x                      
----------------------------------------------
                      x                       

$$\frac{1}{x} \left(- \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} - \frac{2 \pi}{x} \cos{\left (\pi x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\pi x \right )}\right)$$

Третья производная

                                    2                           
    3             6*sin(pi*x)   3*pi *sin(pi*x)   6*pi*cos(pi*x)
- pi *cos(pi*x) - ----------- + --------------- + --------------
                        3              x                 2      
                       x                                x       
----------------------------------------------------------------
                               x                                

$$\frac{1}{x} \left(- \pi^{3} \cos{\left (\pi x \right )} + \frac{3 \pi^{2}}{x} \sin{\left (\pi x \right )} + \frac{6 \pi}{x^{2}} \cos{\left (\pi x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (\pi x \right )}\right)$$