Производная sin((2/x)+1)

Вы ввели

   /2    \
sin|- + 1|
   \x    /

$$\sin{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}$$

d /   /2    \\
--|sin|- + 1||
dx\   \x    //

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 + \frac{2}{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 + \frac{2}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 + \frac{2}{x}$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cos{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}}{x^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \cos{\left(\frac{x + 2}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left(\frac{x + 2}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

      /2    \
-2*cos|- + 1|
      \x    /
-------------
       2     
      x      

$$- \frac{2 \cos{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /     /    2\             \
  |  sin|1 + -|             |
  |     \    x/      /    2\|
4*|- ---------- + cos|1 + -||
  \      x           \    x//
-----------------------------
               3             
              x              

$$\frac{4 \left(\cos{\left(1 + \frac{2}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

  /                      /    2\        /    2\\
  |                 2*cos|1 + -|   6*sin|1 + -||
  |       /    2\        \    x/        \    x/|
4*|- 3*cos|1 + -| + ------------ + ------------|
  |       \    x/         2             x      |
  \                      x                     /
------------------------------------------------
                        4                       
                       x                        

$$\frac{4 \left(- 3 \cos{\left(1 + \frac{2}{x} \right)} + \frac{6 \sin{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(1 + \frac{2}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График