Производная sin(e)^cos(x)

Вы ввели

   cos(x)   
sin      (e)

$$\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(e \right)}$$

d /   cos(x)   \
--\sin      (e)/
dx              

$$\frac{d}{d x} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(e \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} \sin^{u}{\left(e \right)} = \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{u}{\left(e \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(e \right)} \sin{\left(x \right)}$

---

Ответ:

$- \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(e \right)} \sin{\left(x \right)}$

Первая производная

    cos(x)                      
-sin      (e)*log(sin(e))*sin(x)

$$- \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(e \right)} \sin{\left(x \right)}$$

Вторая производная

   cos(x)    /             2               \            
sin      (e)*\-cos(x) + sin (x)*log(sin(e))/*log(sin(e))

$$\left(\log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(e \right)}$$

Третья производная

   cos(x)    /       2            2                          \                   
sin      (e)*\1 - log (sin(e))*sin (x) + 3*cos(x)*log(sin(e))/*log(sin(e))*sin(x)

$$\left(- \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)}^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(e \right)} \right)} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(e \right)} \sin{\left(x \right)}$$

График