Производная sin(cos(exp(x)))

Вы ввели

   /   / x\\
sin\cos\e //

$$\sin{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (e^{x} \right )}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (e^{x} \right )}$:

   1. Заменим $u = e^{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{x}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате последовательности правил:

      $- e^{x} \sin{\left (e^{x} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- e^{x} \sin{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}$

---

Ответ:

$- e^{x} \sin{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}$

Первая производная

    /   / x\\  x    / x\
-cos\cos\e //*e *sin\e /

$$- e^{x} \sin{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}$$

Вторая производная

 /   /   / x\\    / x\      2/ x\  x    /   / x\\      /   / x\\    / x\  x\  x
-\cos\cos\e //*sin\e / + sin \e /*e *sin\cos\e // + cos\cos\e //*cos\e /*e /*e 

$$- \left(e^{x} \sin^{2}{\left (e^{x} \right )} \sin{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} + e^{x} \cos{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} + \sin{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}\right) e^{x}$$

Третья производная

/     /   / x\\    / x\      3/ x\    /   / x\\  2*x      /   / x\\  2*x    / x\        2/ x\  x    /   / x\\        /   / x\\    / x\  x        / x\  2*x    /   / x\\    / x\\  x
\- cos\cos\e //*sin\e / + sin \e /*cos\cos\e //*e    + cos\cos\e //*e   *sin\e / - 3*sin \e /*e *sin\cos\e // - 3*cos\cos\e //*cos\e /*e  - 3*cos\e /*e   *sin\cos\e //*sin\e //*e 

$$\left(e^{2 x} \sin^{3}{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} - 3 e^{2 x} \sin{\left (e^{x} \right )} \sin{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} \cos{\left (e^{x} \right )} + e^{2 x} \sin{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} - 3 e^{x} \sin^{2}{\left (e^{x} \right )} \sin{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} - 3 e^{x} \cos{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )} - \sin{\left (e^{x} \right )} \cos{\left (\cos{\left (e^{x} \right )} \right )}\right) e^{x}$$