Производная sin(cos(x)^2)

Вы ввели

   /   2   \
sin\cos (x)/

$$\sin{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$

d /   /   2   \\
--\sin\cos (x)//
dx              

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$

---

Ответ:

$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$

Первая производная

             /   2   \       
-2*cos(x)*cos\cos (x)/*sin(x)

$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$

Вторая производная

  /   2       /   2   \      2       /   2   \        2       2       /   2   \\
2*\sin (x)*cos\cos (x)/ - cos (x)*cos\cos (x)/ - 2*cos (x)*sin (x)*sin\cos (x)//

$$2 \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}\right)$$

Третья производная

  /     /   2   \        2       /   2   \        2       /   2   \        2       2       /   2   \\              
4*\2*cos\cos (x)/ - 3*cos (x)*sin\cos (x)/ + 3*sin (x)*sin\cos (x)/ + 2*cos (x)*sin (x)*cos\cos (x)//*cos(x)*sin(x)

$$4 \cdot \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} - 3 \sin{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

График