Производная sin(5*x)/x

Вы ввели

sin(5*x)
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \sin{\left (5 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (5 x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $5 \cos{\left (5 x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(5 x \cos{\left (5 x \right )} - \sin{\left (5 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(5 x \cos{\left (5 x \right )} - \sin{\left (5 x \right )}\right)$

Первая производная

  sin(5*x)   5*cos(5*x)
- -------- + ----------
      2          x     
     x                 

$$\frac{5}{x} \cos{\left (5 x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (5 x \right )}$$

Вторая производная

               10*cos(5*x)   2*sin(5*x)
-25*sin(5*x) - ----------- + ----------
                    x             2    
                                 x     
---------------------------------------
                   x                   

$$\frac{1}{x} \left(- 25 \sin{\left (5 x \right )} - \frac{10}{x} \cos{\left (5 x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (5 x \right )}\right)$$

Третья производная

                6*sin(5*x)   30*cos(5*x)   75*sin(5*x)
-125*cos(5*x) - ---------- + ----------- + -----------
                     3             2            x     
                    x             x                   
------------------------------------------------------
                          x                           

$$\frac{1}{x} \left(- 125 \cos{\left (5 x \right )} + \frac{75}{x} \sin{\left (5 x \right )} + \frac{30}{x^{2}} \cos{\left (5 x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (5 x \right )}\right)$$