Производная sin(sin(x))/x

Вы ввели

sin(sin(x))
-----------
     x     

$$\frac{1}{x} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$

Первая производная

  sin(sin(x))   cos(x)*cos(sin(x))
- ----------- + ------------------
        2               x         
       x                          

$$\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

     2                                       2*sin(sin(x))   2*cos(x)*cos(sin(x))
- cos (x)*sin(sin(x)) - cos(sin(x))*sin(x) + ------------- - --------------------
                                                    2                 x          
                                                   x                             
---------------------------------------------------------------------------------
                                        x                                        

$$\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

                                                                  2                                                                                           
     3                                       6*sin(sin(x))   3*cos (x)*sin(sin(x))   3*cos(sin(x))*sin(x)                                 6*cos(x)*cos(sin(x))
- cos (x)*cos(sin(x)) - cos(x)*cos(sin(x)) - ------------- + --------------------- + -------------------- + 3*cos(x)*sin(x)*sin(sin(x)) + --------------------
                                                    3                  x                      x                                                     2         
                                                   x                                                                                               x          
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              x                                                                               

$$\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{3}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{3}{x} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$$