Производная функции/ От одной переменной/ y' = (sin(sin(x))/x)'

Производная sin(sin(x))/x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
sin(sin(x))
-----------
     x
1xsin⁡(sin⁡(x))\frac{1}{x} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Подробное решение

  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=sin⁡(sin⁡(x))f{\left (x \right )} = \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} и g(x)=xg{\left (x \right )} = x.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=sin⁡(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. Производная синуса есть косинус:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))\cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    Теперь применим правило производной деления:

    1x2(xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−sin⁡(sin⁡(x)))\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)

Ответ:

1x2(xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−sin⁡(sin⁡(x)))\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)

График
02468-8-6-4-2-10102-2
Первая производная [src]
  sin(sin(x))   cos(x)*cos(sin(x))
- ----------- + ------------------
        2               x         
       x
1xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−1x2sin⁡(sin⁡(x))\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Упростить
Вторая производная [src]
     2                                       2*sin(sin(x))   2*cos(x)*cos(sin(x))
- cos (x)*sin(sin(x)) - cos(sin(x))*sin(x) + ------------- - --------------------
                                                    2                 x          
                                                   x                             
---------------------------------------------------------------------------------
                                        x
1x(−sin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−sin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)−2xcos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))+2x2sin⁡(sin⁡(x)))\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)
Упростить
Третья производная [src]
                                                                  2                                                                                           
     3                                       6*sin(sin(x))   3*cos (x)*sin(sin(x))   3*cos(sin(x))*sin(x)                                 6*cos(x)*cos(sin(x))
- cos (x)*cos(sin(x)) - cos(x)*cos(sin(x)) - ------------- + --------------------- + -------------------- + 3*cos(x)*sin(x)*sin(sin(x)) + --------------------
                                                    3                  x                      x                                                     2         
                                                   x                                                                                               x          
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              x
1x(3sin⁡(x)sin⁡(sin⁡(x))cos⁡(x)−cos⁡3(x)cos⁡(sin⁡(x))−cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))+3xsin⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))+3xsin⁡(sin⁡(x))cos⁡2(x)+6x2cos⁡(x)cos⁡(sin⁡(x))−6x3sin⁡(sin⁡(x)))\frac{1}{x} \left(3 \sin{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \cos^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{3}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{3}{x} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)
Упростить