Производная sin(t)-cos(t)^(2)

Вы ввели

            2   
sin(t) - cos (t)

$$\sin{\left (t \right )} - \cos^{2}{\left (t \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sin{\left (t \right )} - \cos^{2}{\left (t \right )}$ почленно:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \cos{\left (t \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$

      Таким образом, в результате: $2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$

   В результате: $2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\sin{\left (2 t \right )} + \cos{\left (t \right )}$

---

Ответ:

$\sin{\left (2 t \right )} + \cos{\left (t \right )}$

Первая производная

2*cos(t)*sin(t) + cos(t)

$$2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}$$

Вторая производная

               2           2   
-sin(t) - 2*sin (t) + 2*cos (t)

$$- 2 \sin^{2}{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )} + 2 \cos^{2}{\left (t \right )}$$

Третья производная

-(1 + 8*sin(t))*cos(t)

$$- \left(8 \sin{\left (t \right )} + 1\right) \cos{\left (t \right )}$$