Производная sin(t)*cos(t)

Вы ввели

sin(t)*cos(t)

$$\sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

   $f{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

   $g{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

   В результате: $- \sin^{2}{\left (t \right )} + \cos^{2}{\left (t \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\cos{\left (2 t \right )}$

---

Ответ:

$\cos{\left (2 t \right )}$

Первая производная

   2         2   
cos (t) - sin (t)

$$- \sin^{2}{\left (t \right )} + \cos^{2}{\left (t \right )}$$

Вторая производная

-4*cos(t)*sin(t)

$$- 4 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$$

Третья производная

  /   2         2   \
4*\sin (t) - cos (t)/

$$4 \left(\sin^{2}{\left (t \right )} - \cos^{2}{\left (t \right )}\right)$$