Производная (sin(t)^2)*t

Вы ввели

   2     
sin (t)*t

$$t \sin^{2}{\left (t \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

   $f{\left (t \right )} = \sin^{2}{\left (t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (t \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$

   $g{\left (t \right )} = t$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   В результате: $2 t \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )} + \sin^{2}{\left (t \right )}$

2. Теперь упростим:

   $t \sin{\left (2 t \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{2}$

---

Ответ:

$t \sin{\left (2 t \right )} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 t \right )} + \frac{1}{2}$

Первая производная

   2                       
sin (t) + 2*t*cos(t)*sin(t)

$$2 t \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )} + \sin^{2}{\left (t \right )}$$

Вторая производная

  /     2           2                     \
2*\t*cos (t) - t*sin (t) + 2*cos(t)*sin(t)/

$$2 \left(- t \sin^{2}{\left (t \right )} + t \cos^{2}{\left (t \right )} + 2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}\right)$$

Третья производная

  /       2           2                       \
2*\- 3*sin (t) + 3*cos (t) - 4*t*cos(t)*sin(t)/

$$2 \left(- 4 t \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )} - 3 \sin^{2}{\left (t \right )} + 3 \cos^{2}{\left (t \right )}\right)$$