Производная sin(tan(x))

Вы ввели

sin(tan(x))

$$\sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

d              
--(sin(tan(x)))
dx             

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

/       2   \            
\1 + tan (x)/*cos(tan(x))

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Вторая производная

/       2   \ /  /       2   \                                   \
\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/*sin(tan(x)) + 2*cos(tan(x))*tan(x)/

$$\left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$

Третья производная

              /               2                                                                                                       \
/       2   \ |  /       2   \                  /       2   \                    2                    /       2   \                   |
\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/ *cos(tan(x)) + 2*\1 + tan (x)/*cos(tan(x)) + 4*tan (x)*cos(tan(x)) - 6*\1 + tan (x)/*sin(tan(x))*tan(x)/

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 4 \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}\right)$$

График