Производная sin(3*x)-tan(x)

Вы ввели

sin(3*x) - tan(x)

$$\sin{\left(3 x \right)} - \tan{\left(x \right)}$$

d                    
--(sin(3*x) - tan(x))
dx                   

$$\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(3 x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sin{\left(3 x \right)} - \tan{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Заменим $u = 3 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $3$

      В результате последовательности правил:

      $3 \cos{\left(3 x \right)}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 3 \cos{\left(3 x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $3 \cos{\left(3 x \right)} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$3 \cos{\left(3 x \right)} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

        2                
-1 - tan (x) + 3*cos(3*x)

$$3 \cos{\left(3 x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} - 1$$

Вторая производная

 /               /       2   \       \
-\9*sin(3*x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$- (2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(3 x \right)})$$

Третья производная

 /               2                                        \
 |  /       2   \                       2    /       2   \|
-\2*\1 + tan (x)/  + 27*cos(3*x) + 4*tan (x)*\1 + tan (x)//

$$- (2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 27 \cos{\left(3 x \right)})$$

График