Производная sin(y)/e^y

Вы ввели

sin(y)
------
   y  
  E   

$$\frac{1}{e^{y}} \sin{\left (y \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d y}\left(\frac{f{\left (y \right )}}{g{\left (y \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (y \right )}} \left(- f{\left (y \right )} \frac{d}{d y} g{\left (y \right )} + g{\left (y \right )} \frac{d}{d y} f{\left (y \right )}\right)$

   $f{\left (y \right )} = \sin{\left (y \right )}$ и $g{\left (y \right )} = e^{y}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d y} f{\left (y \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d y} \sin{\left (y \right )} = \cos{\left (y \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d y} g{\left (y \right )}$:

   1. Производная $e^{y}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- e^{y} \sin{\left (y \right )} + e^{y} \cos{\left (y \right )}\right) e^{- 2 y}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{- y} \cos{\left (y + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{- y} \cos{\left (y + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

        -y    -y       
cos(y)*e   - e  *sin(y)

$$- e^{- y} \sin{\left (y \right )} + e^{- y} \cos{\left (y \right )}$$

Вторая производная

           -y
-2*cos(y)*e  

$$- 2 e^{- y} \cos{\left (y \right )}$$

Третья производная

                     -y
2*(cos(y) + sin(y))*e  

$$2 \left(\sin{\left (y \right )} + \cos{\left (y \right )}\right) e^{- y}$$

График