Производная функции/ От одной переменной/ y' = (sin(x)/(2+cos(x)))'

Производная sin(x)/(2+cos(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  sin(x)  
----------
2 + cos(x)
sin⁡(x)cos⁡(x)+2\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2}
Подробное решение

  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=sin⁡(x)f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} и g(x)=cos⁡(x)+2g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 2.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Производная синуса есть косинус:

      ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем cos⁡(x)+2\cos{\left (x \right )} + 2 почленно:

      1. Производная постоянной 22 равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

        ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

      В результате: −sin⁡(x)- \sin{\left (x \right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    1(cos⁡(x)+2)2((cos⁡(x)+2)cos⁡(x)+sin⁡2(x))\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} \left(\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right) \cos{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    2cos⁡(x)+1(cos⁡(x)+2)2\frac{2 \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}

Ответ:

2cos⁡(x)+1(cos⁡(x)+2)2\frac{2 \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}

График
02468-8-6-4-2-10102-2
Первая производная [src]
                   2      
  cos(x)        sin (x)   
---------- + -------------
2 + cos(x)               2
             (2 + cos(x))
cos⁡(x)cos⁡(x)+2+sin⁡2(x)(cos⁡(x)+2)2\frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}
Упростить
Вторая производная [src]
/            2                  \       
|       2*sin (x)      3*cos(x) |       
|-1 + ------------- + ----------|*sin(x)
|                 2   2 + cos(x)|       
\     (2 + cos(x))              /       
----------------------------------------
               2 + cos(x)
sin⁡(x)cos⁡(x)+2(−1+3cos⁡(x)cos⁡(x)+2+2sin⁡2(x)(cos⁡(x)+2)2)\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} \left(-1 + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}\right)
Упростить
Третья производная [src]
               2            2              4              2          
          4*sin (x)    3*cos (x)      6*sin (x)     12*sin (x)*cos(x)
-cos(x) - ---------- + ---------- + ------------- + -----------------
          2 + cos(x)   2 + cos(x)               3                 2  
                                    (2 + cos(x))      (2 + cos(x))   
---------------------------------------------------------------------
                              2 + cos(x)
1cos⁡(x)+2(−cos⁡(x)−4sin⁡2(x)cos⁡(x)+2+3cos⁡2(x)cos⁡(x)+2+12sin⁡2(x)cos⁡(x)(cos⁡(x)+2)2+6sin⁡4(x)(cos⁡(x)+2)3)\frac{1}{\cos{\left (x \right )} + 2} \left(- \cos{\left (x \right )} - \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 2} + \frac{12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} + \frac{6 \sin^{4}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 2\right)^{3}}\right)
Упростить