Производная sin(x)/(2*x)

Вы ввели

sin(x)
------
 2*x  

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{2 x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 2 x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{4 x^{2}} \left(2 x \cos{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

 1           sin(x)
---*cos(x) - ------
2*x              2 
              2*x  

$$\frac{1}{2 x} \cos{\left (x \right )} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 x^{2}}$$

Вторая производная

  sin(x)   sin(x)   cos(x)
- ------ + ------ - ------
    2         2       x   
             x            
--------------------------
            x             

$$\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  cos(x)   3*sin(x)   3*cos(x)   3*sin(x)
- ------ - -------- + -------- + --------
    2          3          2        2*x   
              x          x               
-----------------------------------------
                    x                    

$$\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{3}{2 x} \sin{\left (x \right )} + \frac{3}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} - \frac{3}{x^{3}} \sin{\left (x \right )}\right)$$