Производная sin(x/2)^(4)

Вы ввели

   4/x\
sin |-|
    \2/

$$\sin^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $2 \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $2 \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

---

Ответ:

$2 \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

Первая производная

     3/x\    /x\
2*sin |-|*cos|-|
      \2/    \2/

$$2 \sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

   2/x\ /     2/x\        2/x\\
sin |-|*|- sin |-| + 3*cos |-||
    \2/ \      \2/         \2//

$$\left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

/       2/x\        2/x\\    /x\    /x\
|- 5*sin |-| + 3*cos |-||*cos|-|*sin|-|
\        \2/         \2//    \2/    \2/

$$\left(- 5 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$