Производная (sin(x/2))^3

Вы ввели

   3/x\
sin |-|
    \2/

$$\sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{3}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

Первая производная

     2/x\    /x\
3*sin |-|*cos|-|
      \2/    \2/
----------------
       2        

$$\frac{3}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

  /     2/x\        2/x\\    /x\
3*|- sin |-| + 2*cos |-||*sin|-|
  \      \2/         \2//    \2/
--------------------------------
               4                

$$\frac{3}{4} \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

  /       2/x\        2/x\\    /x\
3*|- 7*sin |-| + 2*cos |-||*cos|-|
  \        \2/         \2//    \2/
----------------------------------
                8                 

$$\frac{3}{8} \left(- 7 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$$