Производная (sin(x))/cos(x)

Вы ввели

sin(x)
------
cos(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

d /sin(x)\
--|------|
dx\cos(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

       2   
    sin (x)
1 + -------
       2   
    cos (x)

$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1$$

Вторая производная

/         2   \       
|    2*sin (x)|       
|2 + ---------|*sin(x)
|        2    |       
\     cos (x) /       
----------------------
        cos(x)        

$$\frac{\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Третья производная

                        /         2   \
                   2    |    6*sin (x)|
                sin (x)*|5 + ---------|
         2              |        2    |
    3*sin (x)           \     cos (x) /
2 + --------- + -----------------------
        2                  2           
     cos (x)            cos (x)        

$$\frac{\left(\frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 5\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2$$

График