Производная sin(x)/(cos(x)+1)

Вы ввели

  sin(x)  
----------
cos(x) + 1

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

d /  sin(x)  \
--|----------|
dx\cos(x) + 1/

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате: $- \sin{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

Первая производная

                   2      
  cos(x)        sin (x)   
---------- + -------------
cos(x) + 1               2
             (cos(x) + 1) 

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/          2                          \       
|     2*sin (x)                       |       
|     ---------- + cos(x)             |       
|     1 + cos(x)             2*cos(x) |       
|-1 + ------------------- + ----------|*sin(x)
\          1 + cos(x)       1 + cos(x)/       
----------------------------------------------
                  1 + cos(x)                  

$$\frac{\left(-1 + \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

Третья производная

                               /                         2     \                                 
                          2    |      6*cos(x)      6*sin (x)  |     /     2             \       
                       sin (x)*|-1 + ---------- + -------------|     |2*sin (x)          |       
               2               |     1 + cos(x)               2|   3*|---------- + cos(x)|*cos(x)
          3*sin (x)            \                  (1 + cos(x)) /     \1 + cos(x)         /       
-cos(x) - ---------- + ----------------------------------------- + ------------------------------
          1 + cos(x)                   1 + cos(x)                            1 + cos(x)          
-------------------------------------------------------------------------------------------------
                                            1 + cos(x)                                           

$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(-1 + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1}}{\cos{\left(x \right)} + 1}$$

График