Производная sin(x/log(x))

Вы ввели

   /  x   \
sin|------|
   \log(x)/

$$\sin{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{\log{\left (x \right )}}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{\log{\left (x \right )}}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\log{\left (x \right )} - 1}{\log^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

/  1         1   \    /  x   \
|------ - -------|*cos|------|
|log(x)      2   |    \log(x)/
\         log (x)/            

$$\left(\frac{1}{\log{\left (x \right )}} - \frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right) \cos{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )}$$

Вторая производная

 /                            /      2   \    /  x   \\ 
 |            2               |1 - ------|*cos|------|| 
 |/      1   \     /  x   \   \    log(x)/    \log(x)/| 
-||1 - ------| *sin|------| + ------------------------| 
 \\    log(x)/     \log(x)/              x            / 
--------------------------------------------------------
                           2                            
                        log (x)                         

$$- \frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right)^{2} \sin{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )} + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \cos{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )}\right)$$

Третья производная

/       6   \    /  x   \               3                                                      
|1 - -------|*cos|------|   /      1   \     /  x   \     /      1   \ /      2   \    /  x   \
|       2   |    \log(x)/   |1 - ------| *cos|------|   3*|1 - ------|*|1 - ------|*sin|------|
\    log (x)/               \    log(x)/     \log(x)/     \    log(x)/ \    log(x)/    \log(x)/
------------------------- - ------------------------- + ---------------------------------------
             2                        log(x)                            x*log(x)               
            x                                                                                  
-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                               2                                               
                                            log (x)                                            

$$\frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{\left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right)^{3}}{\log{\left (x \right )}} \cos{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )} + \frac{3 \sin{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{x \log{\left (x \right )}} \left(1 - \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right) \left(1 - \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(1 - \frac{6}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right) \cos{\left (\frac{x}{\log{\left (x \right )}} \right )}\right)$$