Производная sin(x)/(1+x)

Вы ввели

sin(x)
------
1 + x 

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\left(x + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

cos(x)    sin(x) 
------ - --------
1 + x           2
         (1 + x) 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{x + 1} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

          2*cos(x)   2*sin(x)
-sin(x) - -------- + --------
           1 + x            2
                     (1 + x) 
-----------------------------
            1 + x            

$$\frac{1}{x + 1} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x + 1} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

          6*sin(x)   3*sin(x)   6*cos(x)
-cos(x) - -------- + -------- + --------
                 3    1 + x            2
          (1 + x)               (1 + x) 
----------------------------------------
                 1 + x                  

$$\frac{1}{x + 1} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{x + 1} + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$