Производная sin(x/5)^(8)

Вы ввели

   8/x\
sin |-|
    \5/

$$\sin^{8}{\left (\frac{x}{5} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{5} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{5} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{5}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{5}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{5}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{5} \cos{\left (\frac{x}{5} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{8}{5} \sin^{7}{\left (\frac{x}{5} \right )} \cos{\left (\frac{x}{5} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{8}{5} \sin^{7}{\left (\frac{x}{5} \right )} \cos{\left (\frac{x}{5} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{8}{5} \sin^{7}{\left (\frac{x}{5} \right )} \cos{\left (\frac{x}{5} \right )}$

Первая производная

     7/x\    /x\
8*sin |-|*cos|-|
      \5/    \5/
----------------
       5        

$$\frac{8}{5} \sin^{7}{\left (\frac{x}{5} \right )} \cos{\left (\frac{x}{5} \right )}$$

Вторая производная

     6/x\ /     2/x\        2/x\\
8*sin |-|*|- sin |-| + 7*cos |-||
      \5/ \      \5/         \5//
---------------------------------
                25               

$$\frac{8}{25} \left(- \sin^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + 7 \cos^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )}\right) \sin^{6}{\left (\frac{x}{5} \right )}$$

Третья производная

      5/x\ /        2/x\         2/x\\    /x\
16*sin |-|*|- 11*sin |-| + 21*cos |-||*cos|-|
       \5/ \         \5/          \5//    \5/
---------------------------------------------
                     125                     

$$\frac{16}{125} \left(- 11 \sin^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )} + 21 \cos^{2}{\left (\frac{x}{5} \right )}\right) \sin^{5}{\left (\frac{x}{5} \right )} \cos{\left (\frac{x}{5} \right )}$$