Производная sin(x)/tan(x)

Вы ввели

sin(x)
------
tan(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

d /sin(x)\
--|------|
dx\tan(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \sin{\left(x \right)}$

---

Ответ:

$- \sin{\left(x \right)}$

Первая производная

         /        2   \       
cos(x)   \-1 - tan (x)/*sin(x)
------ + ---------------------
tan(x)             2          
                tan (x)       

$$\frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

            /       2   \                          /            2   \       
          2*\1 + tan (x)/*cos(x)     /       2   \ |     1 + tan (x)|       
-sin(x) - ---------------------- + 2*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*sin(x)
                  tan(x)                           |          2     |       
                                                   \       tan (x)  /       
----------------------------------------------------------------------------
                                   tan(x)                                   

$$\frac{2 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Третья производная

                                                                                                                     /            2   \       
                                                                                                       /       2   \ |     1 + tan (x)|       
             /                               2                  3\                                   6*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*cos(x)
             |                  /       2   \      /       2   \ |            /       2   \                          |          2     |       
  cos(x)     |         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |          3*\1 + tan (x)/*sin(x)                   \       tan (x)  /       
- ------ - 2*|2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|*sin(x) + ---------------------- + -----------------------------------------
  tan(x)     |                       2                  4        |                    2                                tan(x)                 
             \                    tan (x)            tan (x)     /                 tan (x)                                                    

$$\frac{6 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cdot \left(\frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

График