Производная sin(x+sin(x))

Вы ввели

sin(x + sin(x))

$$\sin{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)}$$

d                  
--(sin(x + sin(x)))
dx                 

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \sin{\left(x \right)}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \sin{\left(x \right)}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \sin{\left(x \right)}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $\cos{\left(x \right)} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)}$

---

Ответ:

$\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)}$

Первая производная

(1 + cos(x))*cos(x + sin(x))

$$\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)}$$

Вторая производная

 /            2                                         \
-\(1 + cos(x)) *sin(x + sin(x)) + cos(x + sin(x))*sin(x)/

$$- (\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)})$$

Третья производная

              3                                                                                 
- (1 + cos(x)) *cos(x + sin(x)) - cos(x)*cos(x + sin(x)) + 3*(1 + cos(x))*sin(x)*sin(x + sin(x))

$$- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)} + 3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \sin{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \sin{\left(x \right)} \right)}$$

График