Производная sin(x)*csc(x)

Вы ввели

sin(x)*csc(x)

$$\sin{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \csc{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная косеканс есть минус косеканс, умноженный на котангенс:

         $\frac{d}{d x} \csc{\left (x \right )} = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$

   В результате: $\cos{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $0$

---

Ответ:

$0$

Первая производная

cos(x)*csc(x) - cot(x)*csc(x)*sin(x)

$$- \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/             2             /       2   \                         \       
\-sin(x) + cot (x)*sin(x) + \1 + cot (x)/*sin(x) - 2*cos(x)*cot(x)/*csc(x)

$$\left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}\right) \csc{\left (x \right )}$$

Третья производная

/             3                  2               /       2   \                              /       2   \              \       
\-cos(x) - cot (x)*sin(x) + 3*cot (x)*cos(x) + 3*\1 + cot (x)/*cos(x) + 3*cot(x)*sin(x) - 5*\1 + cot (x)/*cot(x)*sin(x)/*csc(x)

$$\left(- 5 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \cot^{3}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} \cot^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) \csc{\left (x \right )}$$