Производная sin(x)*exp(-x)

Вы ввели

        -x
sin(x)*e  

$$e^{- x} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

        -x    -x       
cos(x)*e   - e  *sin(x)

$$- e^{- x} \sin{\left (x \right )} + e^{- x} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

           -x
-2*cos(x)*e  

$$- 2 e^{- x} \cos{\left (x \right )}$$

Третья производная

                     -x
2*(cos(x) + sin(x))*e  

$$2 \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) e^{- x}$$