Производная sin(x)*(1-sin(x))

Вы ввели

sin(x)*(1 - sin(x))

$$\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \sin{\left (2 x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \sin{\left (2 x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

Первая производная

(1 - sin(x))*cos(x) - cos(x)*sin(x)

$$\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   2           2                          
sin (x) - 2*cos (x) + (-1 + sin(x))*sin(x)

$$\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Третья производная

(-1 + 8*sin(x))*cos(x)

$$\left(8 \sin{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )}$$