Производная sin(x)*(1+cos(x))

Вы ввели

sin(x)*(1 + cos(x))

$$\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   В результате: $\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}$

Первая производная

     2                         
- sin (x) + (1 + cos(x))*cos(x)

$$\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

-(1 + 4*cos(x))*sin(x)

$$- \left(4 \cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

       2           2                         
- 3*cos (x) + 4*sin (x) - (1 + cos(x))*cos(x)

$$- \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + 4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 \cos^{2}{\left (x \right )}$$