Производная sin(x)*sec(x)

Вы ввели

sin(x)*sec(x)

$$\sin{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

   В результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \cos{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

cos(x)*sec(x) + sec(x)*sin(x)*tan(x)

$$\sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/             2             /       2   \                         \       
\-sin(x) + tan (x)*sin(x) + \1 + tan (x)/*sin(x) + 2*cos(x)*tan(x)/*sec(x)

$$\left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}\right) \sec{\left (x \right )}$$

Третья производная

/             3                                    2               /       2   \            /       2   \              \       
\-cos(x) + tan (x)*sin(x) - 3*sin(x)*tan(x) + 3*tan (x)*cos(x) + 3*\1 + tan (x)/*cos(x) + 5*\1 + tan (x)/*sin(x)*tan(x)/*sec(x)

$$\left(5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \tan^{3}{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) \sec{\left (x \right )}$$