Производная sin(x)*tan(x)

Вы ввели

sin(x)*tan(x)

$$\sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

/       2   \                       
\1 + tan (x)/*sin(x) + cos(x)*tan(x)

$$\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                   /       2   \            /       2   \              
-sin(x)*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*cos(x) + 2*\1 + tan (x)/*sin(x)*tan(x)

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}$$

Третья производная

                                                         2                                                                        
                   /       2   \            /       2   \                2    /       2   \            /       2   \              
-cos(x)*tan(x) - 3*\1 + tan (x)/*sin(x) + 2*\1 + tan (x)/ *sin(x) + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/*sin(x) + 6*\1 + tan (x)/*cos(x)*tan(x)

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (x \right )} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} - 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + 6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}$$