Производная sin(x)^2/x

Вы ввели

   2   
sin (x)
-------
   x   

$$\frac{1}{x} \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{1}{2}\right)$

Первая производная

     2                     
  sin (x)   2*cos(x)*sin(x)
- ------- + ---------------
      2            x       
     x                     

$$\frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                       2                     \
  |   2         2      sin (x)   2*cos(x)*sin(x)|
2*|cos (x) - sin (x) + ------- - ---------------|
  |                        2            x       |
  \                       x                     /
-------------------------------------------------
                        x                        

$$\frac{1}{x} \left(- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} - \frac{4}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /                        2           2           2                     \
  |                   3*cos (x)   3*sin (x)   3*sin (x)   6*cos(x)*sin(x)|
2*|-4*cos(x)*sin(x) - --------- - --------- + --------- + ---------------|
  |                       x            3          x               2      |
  \                                   x                          x       /
--------------------------------------------------------------------------
                                    x                                     

$$\frac{1}{x} \left(- 8 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{6}{x} \sin^{2}{\left (x \right )} - \frac{6}{x} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{12}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$$