Производная sin(x)^(2)-cot(x)

Вы ввели

   2            
sin (x) - cot(x)

$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$$

d /   2            \
--\sin (x) - cot(x)/
dx                  

$$\frac{d}{d x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sin^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Method #1

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

         2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

         3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

            1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

               $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

            2. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная синуса есть косинус:

                  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Производная косинус есть минус синус:

                  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

               Теперь применим правило производной деления:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

         Method #2

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}$

---

Ответ:

$\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2}{1 - \cos{\left(2 x \right)}}$

Первая производная

       2                     
1 + cot (x) + 2*cos(x)*sin(x)

$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 1$$

Вторая производная

  /   2         2      /       2   \       \
2*\cos (x) - sin (x) - \1 + cot (x)/*cot(x)/

$$2 \left(- \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$

Третья производная

  /             2                                            \
  |/       2   \                           2    /       2   \|
2*\\1 + cot (x)/  - 4*cos(x)*sin(x) + 2*cot (x)*\1 + cot (x)//

$$2 \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)$$

График