Производная (sin(x)^12)*x

Вы ввели

   12     
sin  (x)*x

$$x \sin^{12}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin^{12}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{12}$ получим $12 u^{11}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $12 \sin^{11}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $12 x \sin^{11}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{12}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(12 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{11}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(12 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{11}{\left (x \right )}$

Первая производная

   12              11          
sin  (x) + 12*x*sin  (x)*cos(x)

$$12 x \sin^{11}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{12}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      10    /       2                                2   \
12*sin  (x)*\- x*sin (x) + 2*cos(x)*sin(x) + 11*x*cos (x)/

$$12 \left(- x \sin^{2}{\left (x \right )} + 11 x \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \sin^{10}{\left (x \right )}$$

Третья производная

      9    /       3            2                      3              2          \
12*sin (x)*\- 3*sin (x) + 33*cos (x)*sin(x) + 110*x*cos (x) - 34*x*sin (x)*cos(x)/

$$12 \left(- 34 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 110 x \cos^{3}{\left (x \right )} - 3 \sin^{3}{\left (x \right )} + 33 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin^{9}{\left (x \right )}$$

График