Производная (sin(x))^n

Вы ввели

   n   
sin (x)

$$\sin^{n}{\left(x \right)}$$

d /   n   \
--\sin (x)/
dx         

$$\frac{\partial}{\partial x} \sin^{n}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{n}$ получим $\frac{n u^{n}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{n \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $n \sin^{n - 1}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

---

Ответ:

$n \sin^{n - 1}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

Первая производная

     n          
n*sin (x)*cos(x)
----------------
     sin(x)     

$$\frac{n \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

          /        2           2   \
     n    |     cos (x)   n*cos (x)|
n*sin (x)*|-1 - ------- + ---------|
          |        2          2    |
          \     sin (x)    sin (x) /

$$n \left(\frac{n \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{n}{\left(x \right)}$$

Третья производная

          /               2       2    2             2   \       
     n    |          2*cos (x)   n *cos (x)   3*n*cos (x)|       
n*sin (x)*|2 - 3*n + --------- + ---------- - -----------|*cos(x)
          |              2           2             2     |       
          \           sin (x)     sin (x)       sin (x)  /       
-----------------------------------------------------------------
                              sin(x)                             

$$\frac{n \left(\frac{n^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 3 n - \frac{3 n \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin^{n}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$