Производная (sin(x))^6*x

Вы ввели

   6     
sin (x)*x

$$x \sin^{6}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sin^{6}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{6}$ получим $6 u^{5}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $6 \sin^{5}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   В результате: $6 x \sin^{5}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{6}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(6 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{5}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(6 x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) \sin^{5}{\left (x \right )}$

Первая производная

   6             5          
sin (x) + 6*x*sin (x)*cos(x)

$$6 x \sin^{5}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin^{6}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

     4    /       2                               2   \
6*sin (x)*\- x*sin (x) + 2*cos(x)*sin(x) + 5*x*cos (x)/

$$6 \left(- x \sin^{2}{\left (x \right )} + 5 x \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \sin^{4}{\left (x \right )}$$

Третья производная

     3    /       3            2                     3              2          \
6*sin (x)*\- 3*sin (x) + 15*cos (x)*sin(x) + 20*x*cos (x) - 16*x*sin (x)*cos(x)/

$$6 \left(- 16 x \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 20 x \cos^{3}{\left (x \right )} - 3 \sin^{3}{\left (x \right )} + 15 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin^{3}{\left (x \right )}$$