Производная t/(1-t^2)

Вы ввели

  t   
------
     2
1 - t 

$$\frac{t}{1 - t^{2}}$$

d /  t   \
--|------|
dt|     2|
  \1 - t /

$$\frac{d}{d t} \frac{t}{1 - t^{2}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = t$ и $g{\left(t \right)} = 1 - t^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. дифференцируем $1 - t^{2}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $t^{2}$ получим $2 t$

         Таким образом, в результате: $- 2 t$

      В результате: $- 2 t$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{t^{2} + 1}{\left(1 - t^{2}\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{t^{2} + 1}{\left(t^{2} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{t^{2} + 1}{\left(t^{2} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

               2  
  1         2*t   
------ + ---------
     2           2
1 - t    /     2\ 
         \1 - t / 

$$\frac{2 t^{2}}{\left(1 - t^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{1 - t^{2}}$$

Вторая производная

    /         2 \
    |      4*t  |
2*t*|3 - -------|
    |          2|
    \    -1 + t /
-----------------
             2   
    /      2\    
    \-1 + t /    

$$\frac{2 t \left(- \frac{4 t^{2}}{t^{2} - 1} + 3\right)}{\left(t^{2} - 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  /                   /          2 \\
  |                 2 |       2*t  ||
  |              4*t *|-1 + -------||
  |         2         |           2||
  |      4*t          \     -1 + t /|
6*|1 - ------- + -------------------|
  |          2               2      |
  \    -1 + t          -1 + t       /
-------------------------------------
                       2             
              /      2\              
              \-1 + t /              

$$\frac{6 \cdot \left(\frac{4 t^{2} \cdot \left(\frac{2 t^{2}}{t^{2} - 1} - 1\right)}{t^{2} - 1} - \frac{4 t^{2}}{t^{2} - 1} + 1\right)}{\left(t^{2} - 1\right)^{2}}$$

График