Производная tan(4*x)/x

Вы ввели

tan(4*x)
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \tan{\left (4 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (4 x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 4 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $4$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{4}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(4 \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 4 \cos^{2}{\left (4 x \right )}\right) - \tan{\left (4 x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4}{x \cos^{2}{\left (4 x \right )}} - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (4 x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{4}{x \cos^{2}{\left (4 x \right )}} - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (4 x \right )}$

Первая производная

         2                
4 + 4*tan (4*x)   tan(4*x)
--------------- - --------
       x              2   
                     x    

$$\frac{1}{x} \left(4 \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (4 x \right )}$$

Вторая производная

  /             /       2     \                              \
  |tan(4*x)   4*\1 + tan (4*x)/      /       2     \         |
2*|-------- - ----------------- + 16*\1 + tan (4*x)/*tan(4*x)|
  |    2              x                                      |
  \   x                                                      /
--------------------------------------------------------------
                              x                               

$$\frac{1}{x} \left(32 \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan{\left (4 x \right )} - \frac{1}{x} \left(8 \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 8\right) + \frac{2}{x^{2}} \tan{\left (4 x \right )}\right)$$

Третья производная

  /                  2                   /       2     \                                      /       2     \         \
  |   /       2     \    3*tan(4*x)   12*\1 + tan (4*x)/          2      /       2     \   48*\1 + tan (4*x)/*tan(4*x)|
2*|64*\1 + tan (4*x)/  - ---------- + ------------------ + 128*tan (4*x)*\1 + tan (4*x)/ - ---------------------------|
  |                           3                2                                                        x             |
  \                          x                x                                                                       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                           x                                                           

$$\frac{1}{x} \left(128 \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} + 256 \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (4 x \right )} - \frac{96}{x} \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan{\left (4 x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(24 \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 24\right) - \frac{6}{x^{3}} \tan{\left (4 x \right )}\right)$$