Производная tan(4*x)^(5)

Вы ввели

   5     
tan (4*x)

$$\tan^{5}{\left (4 x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (4 x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (4 x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 4 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $4$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{4}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \tan^{4}{\left (4 x \right )}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}} \left(4 \sin^{2}{\left (4 x \right )} + 4 \cos^{2}{\left (4 x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{20 \tan^{4}{\left (4 x \right )}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{20 \tan^{4}{\left (4 x \right )}}{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}$

Первая производная

   4      /           2     \
tan (4*x)*\20 + 20*tan (4*x)/

$$\left(20 \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 20\right) \tan^{4}{\left (4 x \right )}$$

Вторая производная

       3      /       2     \ /         2     \
160*tan (4*x)*\1 + tan (4*x)/*\2 + 3*tan (4*x)/

$$160 \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 2\right) \tan^{3}{\left (4 x \right )}$$

Третья производная

                              /                               2                               \
       2      /       2     \ |     4          /       2     \          2      /       2     \|
640*tan (4*x)*\1 + tan (4*x)/*\2*tan (4*x) + 6*\1 + tan (4*x)/  + 13*tan (4*x)*\1 + tan (4*x)//

$$640 \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \left(6 \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right)^{2} + 13 \left(\tan^{2}{\left (4 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (4 x \right )} + 2 \tan^{4}{\left (4 x \right )}\right) \tan^{2}{\left (4 x \right )}$$