Производная tan(pi*x)

Вы ввели

tan(pi*x)

$$\tan{\left(\pi x \right)}$$

d            
--(tan(pi*x))
dx           

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\pi x \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\pi x \right)} = \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\cos{\left(\pi x \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \pi x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\pi$

      В результате последовательности правил:

      $\pi \cos{\left(\pi x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \pi x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\pi$

      В результате последовательности правил:

      $- \pi \sin{\left(\pi x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\pi \sin^{2}{\left(\pi x \right)} + \pi \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{\pi}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{\cos^{2}{\left(\pi x \right)}}$

Первая производная

   /       2      \
pi*\1 + tan (pi*x)/

$$\pi \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)$$

Вторая производная

    2 /       2      \          
2*pi *\1 + tan (pi*x)/*tan(pi*x)

$$2 \pi^{2} \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \tan{\left(\pi x \right)}$$

Третья производная

    3 /       2      \ /         2      \
2*pi *\1 + tan (pi*x)/*\1 + 3*tan (pi*x)/

$$2 \pi^{3} \left(\tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)$$

График