Производная tan(e^cot(x))

Вы ввели

   / cot(x)\
tan\E      /

$$\tan{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = e^{\cot{\left (x \right )}}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{\cot{\left (x \right )}}$:

      1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{\cot{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{\cot{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (e^{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}}}{\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (e^{\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}} \right )}}$

Первая производная

/       2/ cot(x)\\ /        2   \  cot(x)
\1 + tan \E      //*\-1 - cot (x)/*e      

$$\left(\tan^{2}{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} + 1\right) \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) e^{\cot{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/       2   \ /       2/ cot(x)\\ /       2                   /       2   \  cot(x)    / cot(x)\\  cot(x)
\1 + cot (x)/*\1 + tan \E      //*\1 + cot (x) + 2*cot(x) + 2*\1 + cot (x)/*e      *tan\E      //*e      

$$\left(\tan^{2}{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) e^{\cot{\left (x \right )}} \tan{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} + \cot^{2}{\left (x \right )} + 2 \cot{\left (x \right )} + 1\right) e^{\cot{\left (x \right )}}$$

Третья производная

                                   /                 2                                                       2                                                2                                          2                                                                    \        
 /       2   \ /       2/ cot(x)\\ |    /       2   \         2        /       2   \            /       2   \  /       2/ cot(x)\\  2*cot(x)     /       2   \     2/ cot(x)\  2*cot(x)     /       2   \   cot(x)    / cot(x)\      /       2   \         cot(x)    / cot(x)\|  cot(x)
-\1 + cot (x)/*\1 + tan \E      //*\2 + \1 + cot (x)/  + 6*cot (x) + 6*\1 + cot (x)/*cot(x) + 2*\1 + cot (x)/ *\1 + tan \E      //*e         + 4*\1 + cot (x)/ *tan \E      /*e         + 6*\1 + cot (x)/ *e      *tan\E      / + 12*\1 + cot (x)/*cot(x)*e      *tan\E      //*e      

$$- \left(\tan^{2}{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} e^{2 \cot{\left (x \right )}} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} e^{2 \cot{\left (x \right )}} \tan^{2}{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} e^{\cot{\left (x \right )}} \tan{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} + \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 12 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) e^{\cot{\left (x \right )}} \tan{\left (e^{\cot{\left (x \right )}} \right )} \cot{\left (x \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + 6 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) e^{\cot{\left (x \right )}}$$