Производная tan(sqrt(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /  ___\
tan\\/ x /
tan(x)\tan{\left(\sqrt{x} \right)}
d /   /  ___\\
--\tan\\/ x //
dx            
ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}
Подробное решение
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

    tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}

  2. Применим правило производной частного:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)} и g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Заменим u=xu = \sqrt{x}.

    2. Производная синуса есть косинус:

      ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

      1. В силу правила, применим: x\sqrt{x} получим 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

      В результате последовательности правил:

      cos(x)2x\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Заменим u=xu = \sqrt{x}.

    2. Производная косинус есть минус синус:

      dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

      1. В силу правила, применим: x\sqrt{x} получим 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

      В результате последовательности правил:

      sin(x)2x- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}

    Теперь применим правило производной деления:

    sin2(x)2x+cos2(x)2xcos2(x)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

  3. Теперь упростим:

    12xcos2(x)\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}


Ответ:

12xcos2(x)\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}

График
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Первая производная [src]
       2/  ___\
1 + tan \\/ x /
---------------
        ___    
    2*\/ x     
tan2(x)+12x\frac{\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{2 \sqrt{x}}
Вторая производная [src]
                  /              /  ___\\
/       2/  ___\\ |   1     2*tan\\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|- ---- + ------------|
                  |   3/2        x      |
                  \  x                  /
-----------------------------------------
                    4                    
(2tan(x)x1x32)(tan2(x)+1)4\frac{\left(\frac{2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{4}
Третья производная [src]
                  /            /  ___\     /       2/  ___\\        2/  ___\\
/       2/  ___\\ | 3     6*tan\\/ x /   2*\1 + tan \\/ x //   4*tan \\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|---- - ------------ + ------------------- + -------------|
                  | 5/2         2                 3/2                3/2    |
                  \x           x                 x                  x       /
-----------------------------------------------------------------------------
                                      8                                      
(tan2(x)+1)(6tan(x)x2+2(tan2(x)+1)x32+4tan2(x)x32+3x52)8\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(- \frac{6 \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8}
График
Производная tan(sqrt(x)) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/2/22/2cf9022527815faf1c907c7a5c527.png