Производная (tan(0.5*x))^2

Вы ввели

   2/x\
tan |-|
    \2/

$$\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

/       2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*tan|-|
\        \2//    \2/

$$\left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

                /       2/x\\
                |    tan |-||
/         2/x\\ |1       \2/|
|1 + 3*tan |-||*|- + -------|
\          \2// \2      2   /

$$\left(\frac{1}{2} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

/       2/x\\ /         2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*|2 + 3*tan |-||*tan|-|
\        \2// \          \2//    \2/

$$\left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}$$