Производная tan(1/x)

Вы ввели

   /  1\
tan|1*-|
   \  x/

$$\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

d /   /  1\\
--|tan|1*-||
dx\   \  x//

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

Первая производная

 /       2/  1\\ 
-|1 + tan |1*-|| 
 \        \  x// 
-----------------
         2       
        x        

$$- \frac{\tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{2}}$$

Вторая производная

                /       /1\\
                |    tan|-||
  /       2/1\\ |       \x/|
2*|1 + tan |-||*|1 + ------|
  \        \x// \      x   /
----------------------------
              3             
             x              

$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

                 /           2/1\        2/1\        /1\\
                 |    1 + tan |-|   2*tan |-|   6*tan|-||
   /       2/1\\ |            \x/         \x/        \x/|
-2*|1 + tan |-||*|3 + ----------- + --------- + --------|
   \        \x// |          2            2         x    |
                 \         x            x               /
---------------------------------------------------------
                             4                           
                            x                            

$$- \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(3 + \frac{6 \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{2}} + \frac{2 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График