Производная tan((1+x)/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /1 + x\
tan|-----|
   \  x  /
tan(1x(x+1))\tan{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

    Один из способов:

    1. Заменим u=1x(x+1)u = \frac{1}{x} \left(x + 1\right).

    2. ddutan(u)=1cos2(u)\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(1x(x+1))\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right):

      1. Применим правило производной частного:

        ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

        f(x)=x+1f{\left (x \right )} = x + 1 и g(x)=xg{\left (x \right )} = x.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

        1. дифференцируем x+1x + 1 почленно:

          1. Производная постоянной 11 равна нулю.

          2. В силу правила, применим: xx получим 11

          В результате: 11

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Теперь применим правило производной деления:

        1x2- \frac{1}{x^{2}}

      В результате последовательности правил:

      1x2cos2(1x(x+1))- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}

  2. Теперь упростим:

    1x2cos2(1+1x)- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}


Ответ:

1x2cos2(1+1x)- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-2000010000
Первая производная [src]
/       2/1 + x\\ /1   1 + x\
|1 + tan |-----||*|- - -----|
\        \  x  // |x      2 |
                  \      x  /
(1x1x2(x+1))(tan2(1x(x+1))+1)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right)
Вторая производная [src]
  /       2/1 + x\\ /    1 + x\ /     /    1 + x\    /1 + x\\
2*|1 + tan |-----||*|1 - -----|*|-1 + |1 - -----|*tan|-----||
  \        \  x  // \      x  / \     \      x  /    \  x  //
-------------------------------------------------------------
                               2                             
                              x                              
2x2(11x(x+1))((11x(x+1))tan(1x(x+1))1)(tan2(1x(x+1))+1)\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \tan{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right)
Третья производная [src]
                                /               2                                                             2            \
  /       2/1 + x\\ /    1 + x\ |    /    1 + x\  /       2/1 + x\\     /    1 + x\    /1 + x\     /    1 + x\     2/1 + x\|
2*|1 + tan |-----||*|1 - -----|*|3 + |1 - -----| *|1 + tan |-----|| - 6*|1 - -----|*tan|-----| + 2*|1 - -----| *tan |-----||
  \        \  x  // \      x  / \    \      x  /  \        \  x  //     \      x  /    \  x  /     \      x  /      \  x  //
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              3                                                             
                                                             x                                                              
2x3(11x(x+1))(tan2(1x(x+1))+1)((11x(x+1))2(tan2(1x(x+1))+1)+2(11x(x+1))2tan2(1x(x+1))6(11x(x+1))tan(1x(x+1))+3)\frac{2}{x^{3}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right) + 2 \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{2} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} - 6 \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \tan{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 3\right)