Производная tan(5*x)

Вы ввели

tan(5*x)

$$\tan{\left(5 x \right)}$$

d           
--(tan(5*x))
dx          

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $5 \cos{\left(5 x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{5}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{5}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

Первая производная

         2     
5 + 5*tan (5*x)

$$5 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 5$$

Вторая производная

   /       2     \         
50*\1 + tan (5*x)/*tan(5*x)

$$50 \left(\tan^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \tan{\left(5 x \right)}$$

Третья производная

    /       2     \ /         2     \
250*\1 + tan (5*x)/*\1 + 3*tan (5*x)/

$$250 \left(\tan^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)$$

График